３の倍数かどうかを判定する方法として
「各桁の数字の和が３の倍数であれば、３の倍数である」
といったことを聞いたことがある人は多いと思います。
そういった”倍数の判定方法”の発想の原点には、ユークリッドの互除法や不定方程式で紹介した
都合のいい部分とそうでない部分に分ける
という考え方があります。
ここでは、その発想を使って
２～１１の倍数の判定方法とその証明
を説明いたします。
倍数の判定方法 一覧
まず、２～１１の倍数の判定方法の一覧を掲載いたします。
これらの判定方法は、暗記する必要はありません。どのように導かれるのかを想像しながら眺めてみてください。
※中には、素直に割り算をして余りが出るか確かめたほうが早いものもありますので、参考程度にご覧いただければと思います。
【倍数の判定方法】
（２の倍数）
- 下１桁が偶数である。
（３の倍数）
- 各桁の数の和が３の倍数である。
（４の倍数）
- 下２桁が４の倍数である。
- 下２桁目の数を２倍し、
下１桁目に足した数が４の倍数である。
（５の倍数）
- 下１桁が０または５である。
（６の倍数）
- ２の倍数 かつ ３の倍数である。
- 下１桁目以外の数の和を４倍し、
下１桁目に足した数が６の倍数である。 - 下１桁目以外の数の和を２倍し、
下１桁目から引いた数が６の倍数である。
（７の倍数）
- 下１,７,13,…桁目を１倍、
下２,８,14,…桁目を３倍、
下３,９,15,…桁目を２倍して足し、
下４,10,16,…桁目を１倍、
下５,11,17,…桁目を３倍、
下６,12,18,…桁目を２倍して引いたものが７の倍数である。 - 「下１桁目を５倍し、それ以外の数に足す」という操作を繰り返した数が７の倍数である。
（８の倍数）
- 下３桁が８の倍数である。
- 下３桁目を４倍、
下２桁目を２倍し、
下１桁目に足した数が８の倍数である。
（９の倍数）
- 各桁の数の和が９の倍数である。
（１０の倍数）
- 下１桁が０である。
（１１の倍数）
- 奇数桁(下１,３,５,…桁目)の数字を足し、
偶数桁(下２,４,６,…桁目)の数字を引いたものが１１の倍数である。
倍数の判定方法の証明
発想・証明の基本方針
ここで紹介する倍数の判定法ですが、その発想や証明の基本方針は
「十進法で表したときの\( 10^{n} \)の部分を、その倍数で割り切れる部分と割り切れない部分に分けること」
です。
たとえば、６桁の数字\( abcdef \)がある倍数かどうかを判定したいとします。
\( abcdef \)は
\begin{align}
& a \times 10^{5} + b \times 10^{4} + c \times 10^{3} \\
& + d \times 10^{2} + e \times 10 + f \\
\end{align}
と表せます。
このように表した場合、
- \( 10^{5},10^{4},10^{3},10^{2},10 \)は、その倍数で割り切れるのか
- 割り切れない場合、\( 10^{5},10^{4},10^{3},10^{2},10 \)は、割り切れる部分と割り切れない部分を分けるとどのように表せるのか
といったことが、どの倍数判定でも共通する考え方になります。
言葉だけではわかりにくいと思いますので、具体的に倍数の判定方法を証明する中で詳しく説明したいと思います。
２の倍数の判定方法の証明
２の倍数の判定方法は
- 下１桁が偶数である
というものです。
（証明）
十進法で６桁の数字\( abcdef \)は
\begin{align}
& a \times 10^{5} + b \times 10^{4} + c \times 10^{3} \\
& + d \times 10^{2} + e \times 10 + f \\
\end{align}
と表すことができます。
また、\( 10^{n} \)は、\( n \)が１以上であれば２で割り切れます。
実際に計算してみると
\begin{align}
& 10\phantom{^{1}} \div 2 = 5 \\
& 10^{2} \div 2 = 50 \\
& 10^{3} \div 2 = 500 \\
& 10^{4} \div 2 = 5000 \\
& 10^{5} \div 2 = 50000 \\
\end{align}
となります。
つまり、\( 10^{n} \)は
\begin{align}
10 \phantom{^{1}} & = 2 \cdot 5 \\
10^{2} & = 2 \cdot 50 \\
10^{3} & = 2 \cdot 500 \\
10^{4} & = 2 \cdot 5000 \\
10^{5} & = 2 \cdot 50000 \\
\end{align}
というように書き換えることができます。
つまり、６桁の数字\( abcdef \)は
\begin{align}
& a \times 10^{5} + b \times 10^{4} + c \times 10^{3} \\
& + d \times 10^{2} + e \times 10 + f \\
= & a( 2 \cdot 50000 ) + b( 2 \cdot 5000 ) + c( 2 \cdot 500 ) \\
& + d( 2 \cdot 50 ) + e( 2 \cdot 5 ) + f \\
= & \underline{ 2(50000 a + 5000 b + 500 c + 50 d + 5e ) } \\
& + f
\end{align}
と表すことができます。
下線部は２で割り切れますので、
\( f \)が２で割り切れるか０であれば、十進法の\( abcdef \)は２で割り切れる
ということになります。
言い換えると、
下一桁の\( f \)が偶数（０を含む）であれば、６桁の数字\( abcdef \)は２の倍数
と判定できるということになります。
３の倍数の判定方法の証明
３の倍数の判定方法は
- 各桁の数の和が３の倍数である
というものです。
（証明）
十進法で６桁の数字\( abcdef \)は
\begin{align}
& a \times 10^{5} + b \times 10^{4} + c \times 10^{3} \\
& + d \times 10^{2} + e \times 10 + f \\
\end{align}
と表すことができます。
また、\( 10^{n} \)は、３で割ると余りが１出てきます。
実際に計算してみると
\begin{align}
& 10\phantom{^{1}} \div 3 = 3 \cdots 1 \\
& 10^{2} \div 3 = 33 \cdots 1 \\
& 10^{3} \div 3 = 333 \cdots 1 \\
& 10^{4} \div 3 = 3333 \cdots 1 \\
& 10^{5} \div 3 = 33333 \cdots 1 \\
\end{align}
となり、余りが１出てきます。
つまり、\( 10^{n} \)は
\begin{align}
10 \phantom{^{1}} & = 3 \cdot 3 + 1 \\
10^{2} & = 3 \cdot 33 + 1 \\
10^{3} & = 3 \cdot 333 + 1 \\
10^{4} & = 3 \cdot 3333 + 1 \\
10^{5} & = 3 \cdot 33333 + 1 \\
\end{align}
というように書き換えることができます。
これは、
\( 10^{n} \)を３で割り切れる部分と割り切れない部分に分けたら、３で割り切れない部分は１である
ということです。
つまり、６桁の数字\( abcdef \)は
\begin{align}
& a \times 10^{5} + b \times 10^{4} + c \times 10^{3} \\
& + d \times 10^{2} + e \times 10 + f \\
= & a (3 \cdot 33333 + 1) + b (3 \cdot 3333 + 1) \\
& + c (3 \cdot 333 + 1) + d (3 \cdot 33 + 1) \\
& + e (3 \cdot 3 + 1) + f \\
= & \underline{ 3( 33333a + 3333b + 333c + 33d + 3e ) } \\
& + (a + b + c + d + e + f ) \\
\end{align}
と表すことができます。
また、下線部は３で割り切れます。
つまり、下線部以外の\( a + b + c + d + e + f \)が３で割り切れれば、十進法の\( abcdef \)は３で割り切れることになります。
言い換えると、各桁の和が３の倍数であれば、６桁の数字\( abcdef \)は３の倍数と判定できるということになります。
４の倍数の判定方法の証明
４の倍数の判定方法は
- 下２桁が４の倍数である。
- ２桁目の数を２倍し、１桁目の数を足した数が４の倍数である。
の２つあります。
（証明）
十進法で６桁の数字\( abcdef \)は
\begin{align}
& a \times 10^{5} + b \times 10^{4} + c \times 10^{3} \\
& + d \times 10^{2} + e \times 10 + f \\
\end{align}
と表すことができます。
また、\( 10^{n} \)は、\( n \)が２以上であれば４で割り切れます。
実際に計算してみると
\begin{align}
& 10^{2} \div 4 = 25 \\
& 10^{3} \div 4 = 250 \\
& 10^{4} \div 4 = 2500 \\
& 10^{5} \div 4 = 25000 \\
\end{align}
となります。
つまり、\( 10^{n} \)は
\begin{align}
10^{2} & = 4 \cdot 25 \\
10^{3} & = 4 \cdot 250 \\
10^{4} & = 4 \cdot 2500 \\
10^{5} & = 4 \cdot 25000 \\
\end{align}
というように書き換えることができます。
つまり、６桁の数字\( abcdef \)は
\begin{align}
& a \times 10^{5} + b \times 10^{4} + c \times 10^{3} \\
& + d \times 10^{2} + e \times 10 + f \\
= & a( 4 \cdot 25000 ) + b( 4 \cdot 2500 ) + c( 4 \cdot 250 ) \\
& + d( 4 \cdot 25 ) + 10e + f \\
= & \underline{ 4(25000 a + 2500 b + 250 c + 25d ) } \\
& + 10e + f
\end{align}
と表すことができます。
また、下線部は４で割り切れます。
つまり、下線部以外の\( 10e + f \)が４で割り切れるか０であれば、十進法の\( abcdef \)は４で割り切れることになります。
言い換えると、下二桁の\( 10e + f \)が４の倍数（０を含む）であれば、６桁の数字\( abcdef \)は４の倍数と判定できるということになります。
また、下二桁部分の\( 10e + f \)を、さらに４の倍数で割り切れる部分とそうでない部分に分けていくと
\begin{align}
10e + f & = (4 \cdot 2 + 2 )e + f \\
& = \underline{ 4\cdot 2e } + 2e + f \\
\end{align}
と表すこともできます。
下線部は４で割り切れますので、下線部以外の\( 2e + f \)が４で割り切れれば、下二桁の\( 10e + f \)も４の倍数となります。
よって、２桁目の数を２倍し、１桁目の数を足した\( 2e + f \)が４の倍数（０を含む）であれば、６桁の数字\( abcdef \)も４の倍数と判定することもできます。
５の倍数の判定方法の証明
５の倍数の判定方法は
- 下１桁が０または５である。
というものです。
（証明）
証明のやり方は、２の倍数のときとほとんど同じです。
十進法で６桁の数字\( abcdef \)は
\begin{align}
& a \times 10^{5} + b \times 10^{4} + c \times 10^{3} \\
& + d \times 10^{2} + e \times 10 + f \\
\end{align}
と表すことができます。
また、\( 10^{n} \)は、\( n \)が１以上であれば５で割り切れます。
実際に計算してみると
\begin{align}
& 10\phantom{^{1}} \div 5 = 2 \\
& 10^{2} \div 5 = 20 \\
& 10^{3} \div 5 = 200 \\
& 10^{4} \div 5 = 2000 \\
& 10^{5} \div 5 = 20000 \\
\end{align}
となります。
つまり、\( 10^{n} \)は
\begin{align}
10 \phantom{^{1}} & = 5 \cdot 2 \\
10^{2} & = 5 \cdot 20 \\
10^{3} & = 5 \cdot 200 \\
10^{4} & = 5 \cdot 2000 \\
10^{5} & = 5 \cdot 20000 \\
\end{align}
というように書き換えることができます。
つまり、６桁の数字\( abcdef \)は
\begin{align}
& a \times 10^{5} + b \times 10^{4} + c \times 10^{3} \\
& + d \times 10^{2} + e \times 10 + f \\
= & a( 5 \cdot 20000 ) + b( 5 \cdot 2000 ) + c( 5 \cdot 200 ) \\
& + d( 5 \cdot 20 ) + e( 5 \cdot 2 ) + f \\
= & \underline{ 5(20000 a + 2000 b + 200 c + 20 d + 2e ) } \\
& + f
\end{align}
と表すことができます。
また、下線部は５で割り切れます。
つまり、下線部以外の\( f \)が５で割り切れるか０であれば、十進法の\( abcdef \)は５で割り切れることになります。
言い換えると、下一桁の\( f \)が０か５であれば、６桁の数字\( abcdef \)は５の倍数と判定できるということになります。
６の倍数の判定方法の証明
６の倍数の判定方法は
- ２の倍数 かつ ３の倍数である。
- １桁目以外の数の和を４倍し、１桁目の数を足した数が６の倍数である。
- １桁目以外の数の和を２倍し、１桁目の数から引いた数が６の倍数である。
の３つがあります。
（証明）
１つ目の「２の倍数 かつ ３の倍数である」は、多くの方が「当たり前だろ！」と感じると思いますので、ここでは証明を省略いたします。
※きちんとした証明は、「２の倍数 かつ ３の倍数である」という条件は、「６の倍数である」ことの必要十分条件になっていることを示せば良いです。
証明については、必要条件・十分条件の問題(3)にて取り扱っていますので、そちらをご覧ください。
さて、ここからは２つ目、３つ目の判定方法の証明に移っていきます。
十進法で６桁の数字\( abcdef \)は
\begin{align}
& a \times 10^{5} + b \times 10^{4} + c \times 10^{3} \\
& + d \times 10^{2} + e \times 10 + f \\
\end{align}
と表すことができます。
また、\( 10^{n} \)は、６で割ると余りが４出てきます。
実際に計算してみると
\begin{align}
& 10\phantom{^{1}} \div 6 = 1 \cdots 4 \\
& 10^{2} \div 6 = 16 \cdots 4 \\
& 10^{3} \div 6 = 166 \cdots 4 \\
& 10^{4} \div 6 = 1666 \cdots 4 \\
& 10^{5} \div 6 = 16666 \cdots 4 \\
\end{align}
となり、余りが４出てきます。
つまり、\( 10^{n} \)は
\begin{align}
10 \phantom{^{1}} & = 6 \cdot 1 + 4 \\
10^{2} & = 6 \cdot 16 + 4 \\
10^{3} & = 6 \cdot 166 + 4 \\
10^{4} & = 6 \cdot 1666 + 4 \\
10^{5} & = 6 \cdot 16666 + 4 \\
\end{align}
というように書き換えることができます。
これは、
\( 10^{n} \)を６で割り切れる部分と割り切れない部分に分けたら、６で割り切れない部分は４である
ということです。
つまり、６桁の数字\( abcdef \)は
\begin{align}
& a \times 10^{5} + b \times 10^{4} + c \times 10^{3} \\
& + d \times 10^{2} + e \times 10 + f \\
= & a (6 \cdot 16666 + 4) + b (6 \cdot 1666 + 4) \\
& + c (6 \cdot 166 + 4) + d (6 \cdot 16 + 4) \\
& + e (6 \cdot 1 + 4) + f \\
= & \underline{ 6( 16666 a + 1666 b + 166 c + 16 d + e ) } \\
& + 4(a + b + c + d + e ) + f \\
\end{align}
と表すことができます。
また、下線部は６で割り切れます。
つまり、下線部以外の\( 4( a + b + c + d + e ) + f \)が６で割り切れれば、十進法の\( abcdef \)は６で割り切れることになります。
言い換えると、１桁目以外の数の和を４倍し、１桁目の数を足した数が６の倍数であれば、６桁の数字\( abcdef \)は６の倍数と判定できるということになります。
また、\( 10^{n} \)は
\begin{align}
10 \phantom{^{1}} & = 6 \cdot 2 – 2 \\
10^{2} & = 6 \cdot 17 – 2 \\
10^{3} & = 6 \cdot 167 – 2 \\
10^{4} & = 6 \cdot 1667 – 2 \\
10^{5} & = 6 \cdot 16667 – 2 \\
\end{align}
というように書き換えることもできます。
このとき、６桁の数字\( abcdef \)は
\begin{align}
& a \times 10^{5} + b \times 10^{4} + c \times 10^{3} \\
& + d \times 10^{2} + e \times 10 + f \\
= & a (6 \cdot 16667 – 2) + b (6 \cdot 1667 – 2) \\
& + c (6 \cdot 167 – 2) + d (6 \cdot 17 – 2) \\
& + e (6 \cdot 2 – 2) + f \\
= & \underline{ 6( 16667 a + 1667 b + 167 c + 17 d + 2 e ) } \\
& – 2(a + b + c + d + e ) + f \\
\end{align}
と表すことができます。
下線部は６で割り切れますので、下線部以外の\( – 2(a + b + c + d + e ) + f \)が６で割り切れれば、十進法の\( abcdef \)は６で割り切れることになります。
言い換えると、１桁目以外の数の和を２倍し、１桁目の数から引いた数が６の倍数であれば、６桁の数字\( abcdef \)は６の倍数と判定できるということになります。
７の倍数の判定方法の証明
７の倍数の判定方法は
- 下１,７,13,…桁目を１倍、
下２,８,14,…桁目を３倍、
下３,９,15,…桁目を２倍して足し、
下４,10,16,…桁目を１倍、
下５,11,17,…桁目を３倍、
下６,12,18,…桁目を２倍して引いたものが７の倍数である。 - 「下１桁目を５倍し、それ以外の数に足す」という操作を繰り返した数が７の倍数である。
の２つあります。
言葉だけでは何を言っているのかイマイチわからないと思いますので、証明の前に具体な数字\( 8641 \)を使って説明します。
（ひとつ目の判定方法を実際に使ってみる）
まずは、\( 8641 \)の下１～３桁目までを順番に１倍，３倍，２倍し、足し合わせていきます。
\begin{align}
& 1 \cdot 1 + 4 \cdot 3 + 6 \cdot 2 \\
= & 1 + 12 + 12 \\
= & 25
\end{align}
次に、下４桁目を１倍、下５桁目を３倍、下６桁目を２倍したものを引きますが、\( 8641 \)は４桁までしかありませんので、下４桁目を１倍したものを１～３桁目の計算結果の\( 25 \)から引きます。
\begin{align}
& 25 – 8 \cdot 1 \\
= & 25 – 8 \\
= & 17
\end{align}
こうして出てきた\( 17 \)は７の倍数ではないので、\( 8641 \)は７の倍数ではないと判定できます。
（ひとつ目の判定方法の証明）
十進法で６桁の数字\( abcdef \)は
\begin{align}
& a \times 10^{5} + b \times 10^{4} + c \times 10^{3} \\
& + d \times 10^{2} + e \times 10 + f \\
\end{align}
と表すことができます。
また、\( 10^{n} \)は、７で割ると
- \( n = 6k \)のとき、余りが１
- \( n = 6k + 1 \)のとき、余りが３
- \( n = 6k + 2 \)のとき、余りが２
- \( n = 6k + 3 \)のとき、余りが６
- \( n = 6k + 4 \)のとき、余りが４
- \( n = 6k + 5 \)のとき、余りが５
となります。（ \( k:0,1,2,3,\cdots \) ）
実際に\( n = 1,2,3,4,5,6 \)の場合で計算してみると
\begin{align}
& 10\phantom{^{1}} \div 7 = 1 \cdots 3 \\
& 10^{2} \div 7 = 14 \cdots 2 \\
& 10^{3} \div 7 = 142 \cdots 6 \\
& 10^{4} \div 7 = 1428 \cdots 4 \\
& 10^{5} \div 7 = 14285 \cdots 5 \\
& 10^{6} \div 7 = 142857 \cdots 1 \\
\end{align}
となります。
つまり、\( 10^{n} \)は
\begin{align}
10 \phantom{^{1}} & = 7 \cdot 1 + 3 \\
10^{2} & = 7 \cdot 14 + 2 \\
10^{3} & = 7 \cdot 142 + 6 \\
10^{4} & = 7 \cdot 1428 + 4 \\
10^{5} & = 7 \cdot 14285 + 5 \\
10^{6} & = 7 \cdot 142857 + 1 \\
\end{align}
というように書き換えることができます。
さらに、\( 10^{3},10^{4},10^{5} \)はそれぞれ
\begin{align}
10^{3} & = 7 \cdot 143 – 1 \\
10^{4} & = 7 \cdot 1429 – 3 \\
10^{5} & = 7 \cdot 14286 – 2 \\
\end{align}
と書き換えることができます。
このとき、６桁の数字\( abcdef \)は
\begin{align}
& a \times 10^{5} + b \times 10^{4} + c \times 10^{3} \\
& + d \times 10^{2} + e \times 10 + f \\
= & a (7 \cdot 14286 – 2) + b (7 \cdot 1429 – 3) \\
& + c (7 \cdot 143 – 1) + d (7 \cdot 14 + 2) \\
& + e (7 \cdot 1 + 3) + f \\
= & \underline{ 7( 14286 a + 1429 b + 143 c + 14 d + e ) } \\
& – 2a – 3b – c + 2d + 3e + f \\
\end{align}
と表すことができます。
下線部は７で割り切れますので、下線部以外の\( – 2a – 3b – c + 2d + 3e + f \)が７で割り切れれば、十進法の\( abcdef \)は７で割り切れることになります。
言い換えると、下１,７,13,…桁目を１倍、下２,８,14,…桁目を３倍、下３,９,15,…桁目を２倍して足し、下４,10,16,…桁目を１倍、下５,11,17,…桁目を３倍、下６,12,18,…桁目を２倍して引いたものが７の倍数であれば、６桁の数字\( abcdef \)は７の倍数と判定できるということになります。
さて、今度は２つ目の判定方法の
「１桁目を５倍し、それ以外の数に足す」という操作を繰り返した数が７の倍数である。
の具体例と証明です。
（ふたつ目の判定方法を実際に使ってみる）
最初に、\( 8641 \)の１桁目の\( 1 \)を５倍し、それ以外の数\( 864 \)に足します。
\begin{align}
& 864 + 1 \cdot 5 \\
= & 864 + 5 \\
= & 869
\end{align}
今度は、\( 869 \)の１桁目の\( 9 \)を５倍し、それ以外の数\( 86 \)に足します。
\begin{align}
& 86 + 9 \cdot 5 \\
= & 86 + 45 \\
= & 131
\end{align}
さらに、\( 131\)の１桁目の\( 1 \)を５倍し、それ以外の数\( 13 \)に足します。
\begin{align}
& 13 + 1 \cdot 5 \\
= & 13 + 5 \\
= & 18
\end{align}
こうして出てきた\( 18 \)は７の倍数ではないので、\( 8641 \)は７の倍数ではないと判定できます。
（ふたつ目の判定方法の証明）
十進法で６桁の数字\( abcdef \)は
\begin{align}
& a \times 10^{5} + b \times 10^{4} + c \times 10^{3} \\
& + d \times 10^{2} + e \times 10 + f \\
\end{align}
と表すことができます。
ここに、\( 49f \)を加えた
\begin{align}
& a \times 10^{5} + b \times 10^{4} + c \times 10^{3} \\
& + d \times 10^{2} + e \times 10 + 50f \\
\end{align}
を考えます。
\( 49f \)は７の倍数なので、元の式に\( 49f \)を加えたこの式が７の倍数であれば、元の式
\begin{align}
& a \times 10^{5} + b \times 10^{4} + c \times 10^{3} \\
& + d \times 10^{2} + e \times 10 + f \\
\end{align}
も７の倍数となります。
元の式に\( 49f \)を加えた式は
\begin{align}
& a \times 10^{5} + b \times 10^{4} + c \times 10^{3} \\
& + d \times 10^{2} + e \times 10 + 50f \\
= & 10(a \times 10^{4} + b \times 10^{3} + c \times 10^{2} \\
& \phantom{10} + d \times 10 + e + 5f)
\end{align}
と書き換えることができます。
１０は７の倍数ではないので、（）の中の式が７の倍数であれば、６桁の数字\( abcdef \)も７の倍数になります。
また、（）内は下１桁目を５倍し、それ以外の数に足した形になっています。
つまり、下１桁目を５倍し、それ以外の数に足したものが７の倍数であれば、６桁の数字\( abcdef \)も７の倍数になります。
８の倍数の判定方法の証明
８の倍数の判定方法は
- 下３桁が８の倍数である。
- 下３桁目を４倍、
下２桁目を２倍し、
下１桁目と足した数が８の倍数である。
の２つあります。
（証明）
証明のやり方は、４の倍数のときとほとんど同じです。
十進法で６桁の数字\( abcdef \)は
\begin{align}
& a \times 10^{5} + b \times 10^{4} + c \times 10^{3} \\
& + d \times 10^{2} + e \times 10 + f \\
\end{align}
と表すことができます。
また、\( 10^{n} \)は、\( n \)が３以上であれば８で割り切れます。
実際に計算してみると
\begin{align}
& 10^{3} \div 8 = 125 \\
& 10^{4} \div 8 = 1250 \\
& 10^{5} \div 8 = 12500 \\
\end{align}
となります。
つまり、\( 10^{n} \)は
\begin{align}
10^{3} & = 8 \cdot 125 \\
10^{4} & = 8 \cdot 1250 \\
10^{5} & = 8 \cdot 12500 \\
\end{align}
というように書き換えることができます。
つまり、６桁の数字\( abcdef \)は
\begin{align}
& a \times 10^{5} + b \times 10^{4} + c \times 10^{3} \\
& + d \times 10^{2} + e \times 10 + f \\
= & a( 8 \cdot 12500 ) + b( 8 \cdot 1250 ) + c( 8 \cdot 125 ) \\
& + 100d + 10e + f \\
= & \underline{ 8(12500 a + 1250 b + 125 c ) } \\
& + 100d + 10e + f \\
\end{align}
と表すことができます。
また、下線部は８で割り切れます。
つまり、下線部以外の\( 100d + 10e + f \)が８で割り切れるか０であれば、十進法の\( abcdef \)は８で割り切れることになります。
言い換えると、下三桁の\( 100d + 10e + f \)が８の倍数（０を含む）であれば、６桁の数字\( abcdef \)は８の倍数と判定できるということになります。
また、下三桁部分の\( 100d + 10e + f \)を、さらに８の倍数で割り切れる部分とそうでない部分に分けていくと
\begin{align}
& 100d + 10e + f \\
= & (8 \cdot 12 + 4)d + (8 \cdot 1 + 2 )e + f \\
= & \underline{ 8( 12d + e ) } + 4d + 2e + f \\
\end{align}
と表すこともできます。
下線部は８で割り切れますので、下線部以外の\( 4d + 2e + f \)が８で割り切れれば、下三桁の\( 100d + 10e + f \)も８の倍数となります。
よって、下３桁目の数を４倍、下２桁目の数を２倍し、下１桁目に足した\( 4d + 2e + f \)が８の倍数（０を含む）であれば、６桁の数字\( abcdef \)も８の倍数と判定することもできます。
９の倍数の判定方法の証明
９の倍数の判定方法は
- 各桁の数の和が９の倍数である。
というものです。
（証明）
証明のやり方は、９の倍数のときとほとんど同じです。
十進法で６桁の数字\( abcdef \)は
\begin{align}
& a \times 10^{5} + b \times 10^{4} + c \times 10^{3} \\
& + d \times 10^{2} + e \times 10 + f \\
\end{align}
と表すことができます。
また、\( 10^{n} \)は、９で割ると余りが１出てきます。
実際に計算してみると
\begin{align}
& 10\phantom{^{1}} \div 9 = 1 \cdots 1 \\
& 10^{2} \div 9 = 11 \cdots 1 \\
& 10^{3} \div 9 = 111 \cdots 1 \\
& 10^{4} \div 9 = 1111 \cdots 1 \\
& 10^{5} \div 9 = 11111 \cdots 1 \\
\end{align}
となり、余りが１出てきます。
つまり、\( 10^{n} \)は
\begin{align}
10 \phantom{^{1}} & = 9 \cdot 1 + 1 \\
10^{2} & = 9 \cdot 11 + 1 \\
10^{3} & = 9 \cdot 111 + 1 \\
10^{4} & = 9 \cdot 1111 + 1 \\
10^{5} & = 9 \cdot 11111 + 1 \\
\end{align}
というように書き換えることができます。
これは、
\( 10^{n} \)を９で割り切れる部分と割り切れない部分に分けたら、９で割り切れない部分は１である
ということです。
つまり、６桁の数字\( abcdef \)は
\begin{align}
& a \times 10^{5} + b \times 10^{4} + c \times 10^{3} \\
& + d \times 10^{2} + e \times 10 + f \\
= & a (9 \cdot 11111 + 1) + b (9 \cdot 1111 + 1) + \\
& c (9 \cdot 111 + 1) + d (9 \cdot 11 + 1) \\
& + e (9 \cdot 1 + 1) + f \\
= & \underline{ 9( 11111a + 1111b + 111c + 11d + 1e ) } \\
& + (a + b + c + d + e + f ) \\
\end{align}
と表すことができます。
また、下線部は９で割り切れます。
つまり、下線部以外の\( a + b + c + d + e + f \)が９で割り切れれば、十進法の\( abcdef \)は９で割り切れることになります。
言い換えると、各桁の和が９の倍数であれば、６桁の数字\( abcdef \)は９の倍数と判定できるということになります。
１０の倍数の判定方法の証明
１０の倍数の判定方法は
- 下１桁が０である。
というものです。
（証明）
十進法で６桁の数字\( abcdef \)は
\begin{align}
& a \times 10^{5} + b \times 10^{4} + c \times 10^{3} \\
& + d \times 10^{2} + e \times 10 + f \\
\end{align}
と表すことができます。
これは
\begin{align}
& a \times 10^{5} + b \times 10^{4} + c \times 10^{3} \\
& + d \times 10^{2} + e \times 10 + f \\
= & \underline{ 10( a \times 10^{4} + b \times 10^{3} + c \times 10^{2} }\\
& \underline{ + d \times 10 + e ) } + f \\
\end{align}
と表すことができ、下線部は１０で割り切れます。
つまり、下線部以外の\( f \)が０であれば、十進法の\( abcdef \)は１０で割り切れることになります。
言い換えると、下一桁の\( f \)が０であれば、６桁の数字\( abcdef \)は１０の倍数と判定できるということになります。
１１の倍数の判定方法の証明
１１の倍数の判定方法は
- 奇数桁(１,３,５桁目)を足し、偶数桁(２,４,６桁目)を引いたものが１１の倍数である。
というものです。
（証明）
十進法で６桁の数字\( abcdef \)は
\begin{align}
& a \times 10^{5} + b \times 10^{4} + c \times 10^{3} \\
& + d \times 10^{2} + e \times 10 + f \\
\end{align}
と表すことができます。
また、\( 10^{n} \)は、１１で割ると
- \( n = 2k \)のとき、余りが１
- \( n = 2k + 1 \)のとき、余りが１０
となります。（ \( k:0,1,2,3,\cdots \) ）
実際に\( n = 2,3,4,5 \)の場合で計算してみると
\begin{align}
& 10^{2} \div 11 = 9 \cdots 1 \\
& 10^{3} \div 11 = 90 \cdots 10 \\
& 10^{4} \div 11 = 909 \cdots 1 \\
& 10^{5} \div 11 = 9090 \cdots 10 \\
\end{align}
となります。
つまり、\( 10^{n} \)は
\begin{align}
10^{2} & = 11 \cdot 9 + 1 \\
10^{3} & = 11 \cdot 90 + 10 \\
10^{4} & = 11 \cdot 909 + 1 \\
10^{5} & = 11 \cdot 9090 + 10 \\
\end{align}
というように書き換えることができます。
また、\( 10,10^{3},10^{5} \)はそれぞれ
\begin{align}
10 \phantom{^{1}} & = 11 – 1 \\
10^{3} & = 11 \cdot 91 – 1 \\
10^{5} & = 11 \cdot 9091 – 1 \\
\end{align}
と書き換えることができます。
このとき、６桁の数字\( abcdef \)は
\begin{align}
& a \times 10^{5} + b \times 10^{4} + c \times 10^{3} \\
& + d \times 10^{2} + e \times 10 + f \\
= & a (11 \cdot 9091 – 1) + b (11 \cdot 909 + 1) \\
& + c (11 \cdot 91 – 1) + d (11 \cdot 9 + 1) \\
& + e (11 – 1) + f \\
= & \underline{ 11( 9091 a + 909 b + 91 c + 9 d + e ) } \\
& – a + b – c + d – e + f \\
\end{align}
と表すことができます。
下線部は１１で割り切れますので、下線部以外の\( – a + b – c + d – e + f \)が１１で割り切れれば、十進法の\( abcdef \)は１１で割り切れることになります。
言い換えると、下から数えて奇数桁(下１,３,５,…桁目)を足し、下から数えて偶数桁(下２,４,６,…桁目)を引いたものが１１の倍数であれば、６桁の数字\( abcdef \)は１１の倍数と判定できるということになります。